Lema de Dickson y bases de Gröbner en ideales de polinomios

Abstract

En el presente estudio, el conjunto de polinomios en las n variables x1, x2, · · · , xn que pertenecen a un cuerpo K dado y con coeficientes en el mismo cuerpo tiene estructura de anillo y, como en todo anillo, se pueden encontrar subconjuntos I llamados ideales. Los términos de un polinomio pueden ordenarse de manera creciente o decreciente, para esto es necesario introducir una noción de orden dentro del conjunto de monomios en las n variables, al cual se nombrar ´a orden monomial; y con este orden se puede encontrar el elemento “más pequeño” de un conjunto de monomios, el cual se conoce como monomio minimal. Por el lema de Dickson es posible mostrar que todo ideal monomial del anillo de polinomios es finitamente generado. Con estos conceptos asimilados se da a conocer lo que es una base de Gröbner de un ideal I del anillo de polinomios respecto a algún orden monomial dado. El trabajo concluye en que existen bases de Gröbner para todo ideal I de Sn gracias al lema de Dickson. Además, se prueba la existencia de bases de Gröbner mínimas, y la existencia y unicidad de bases de Gröbner reducidas; que siguen siendo bases de Gröbner, solo que con algunas particularidades.