Teorema de Arzela-Ascoli aplicado en la existencia de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden y en la sucesión de funciones continuas con dominio compacto

Abstract

Las sucesiones de funciones con dominio compacto son una herramienta poderosa en el análisis matemático para comprender el comportamiento de funciones complicadas mediante la aproximación de secuencias de funciones más simples. Su estudio permite explorar diferentes tipos de convergencia. El objetivo de este trabajo es determinar bajo que condiciones al respecto de un conjunto E de funciones continuas, todas con el mismo dominio, se puede garantizar que cualquier sucesión con términos (fn) ∈ E posee una subsucesion uniformemente convergente. Previamente, en el marco teórico, se enuncian algunas propiedades que serán necesarias para desarrollar el trabajo. Luego de desarrollar el concepto de Equicontinuidad y demostrar el Teorema de Cantor-Tychonof, se desarrolla lo que es propiamente el Teorema de Arzela-Ascoli. El Teorema de Arzelá-Ascoli, proporciona condiciones necesarias para que una sucesión de funciones continuas (fn) definidas en un subconjunto compacto de los números reales, admita una subsucesion uniformemente convergente. Se aborda dos aplicaciones de relevancia, en variable compleja y en la existencia de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden. En conclusión, el Teorema de Arzelá-Ascoli es el soporte principal que dá condiciones necesarias para desarrollar las aplicaciones.