Diferenciabilidad en sentido Carathéodory aplicado al teorema de la función inversa para funciones vectoriales de variable vectorial

Abstract

En el presente estudio, el teorema de la función inversa, un pilar fundamental en diversas disciplinas matemáticas, sirve como base para explorar y comprender propiedades esenciales en el análisis de funciones. En este contexto, la presente tesis se sumerge en el estudio detenido y la aplicación específica de la diferenciabilidad en sentido Carathéodory, con un enfoque particular que es demostrar el teorema de la función inversa aplicado a funciones vectoriales de variable vectorial. El desarrollo teórico abarca la construcción de la diferenciabilidad en sentido Carathéodory, partiendo de los cimientos de la diferenciabilidad clásica para funciones de R en R. La extensión de esta definición a funciones de Rn en Rm se realiza con el respaldo de conceptos fundamentales introducidos en capítulos anteriores. Se realiza un análisis exhaustivo del comportamiento de la diferenciabilidad Carathéodory, identificando condiciones precisas bajo las cuales una función es diferenciable en sentido Carathéodory. Enriqueciendo la teoría con aplicaciones axiomáticas, se presentan ejemplos esclarecedores, como el cálculo de la derivada Carathéodory para transformaciones lineales. La culminación de este trabajo es la aplicación de diferenciabilidad en sentido Carathéodory para funciones de Rn en Rn en la demostración del teorema de la función inversa. Es importante especificar que la extensión de la diferenciabilidad en sentido Carathéodory es para funciones de Rn en Rm, sin embargo, para el teorema de la función inversa es necesario estudiarla con funciones de Rn en Rn.